Bonjour à tous et à toutes, mon prof de maths, nous a donné un DM que je ne comprends pas et que je n'arrive pas à faire. Sachant que je n'ai aucune cours. Je s
Mathématiques
sarah59495
Question
Bonjour à tous et à toutes,
mon prof de maths, nous a donné un DM que je ne comprends pas et que je n'arrive pas à faire. Sachant que je n'ai aucune cours. Je suis dans une véritable impasse. Est-il possible d'obtenir votre aide?
Pour ceux qui sont intéressés, voici le sujet:
On dit que P est un polynôme a coefficient réel, si pour tout nombre complexe z, on a:
P(z)=a0+a1z+a2z²+ ... + anz^n (le 1er nombre est en indice) avec a(indice)i appartient IR pour tout entier i<(ou égale)n et a(indice)n différent de 0. On appelle n le degré du polynôme.
1) On considère un polynôme a coefficient réel, de degré impair
a)Etudier les limites de P(x) en plus ou moins infini en fonction du signe de a(indice)n
b)En déduire, en justifiant soigneusement, que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle
2) D'après le cours, (que je n'ai pas) expliquer pourquoi on peut affirmer, que si z est une racine d'un polynôme de 2nd degré a coefficients réels, alors son conjugué z(barre) est aussi une racine du polynôme.
3)Généralisons: Soit P, défini par P(z)=a0+a1z+a2z²+ ... + anz^n (le 1er nombre est en indice), un polynôme a coefficient réel
a)Si z est un nombre complexe, exprimer P(z)(tout est sous la barre), en fonction des a(indice)i et de z(barre)
b)Si z est un nombre complexe, exprimer P(z)(là il n'y a que z sous la barre), en fonction des a(indice)i et de z(barre)
c)Montrer alors que si ¨admet le nombre z, comme racine, alors z(barre) est aussi une racine de P
4)On sait qu'un polynôme P de degré 5, possède les 2 racines suivantes: (1/2)+i(racine3/2) et i
On sait également que P(0)=6 et que a(indice)5=2
Trouver toutes les racines de P, ainsi que la forme développée de P
Il faudra rédiger, afin de montrer l'enchaînement de la réflexion
mon prof de maths, nous a donné un DM que je ne comprends pas et que je n'arrive pas à faire. Sachant que je n'ai aucune cours. Je suis dans une véritable impasse. Est-il possible d'obtenir votre aide?
Pour ceux qui sont intéressés, voici le sujet:
On dit que P est un polynôme a coefficient réel, si pour tout nombre complexe z, on a:
P(z)=a0+a1z+a2z²+ ... + anz^n (le 1er nombre est en indice) avec a(indice)i appartient IR pour tout entier i<(ou égale)n et a(indice)n différent de 0. On appelle n le degré du polynôme.
1) On considère un polynôme a coefficient réel, de degré impair
a)Etudier les limites de P(x) en plus ou moins infini en fonction du signe de a(indice)n
b)En déduire, en justifiant soigneusement, que tout polynôme de degré impair possède au moins une racine réelle
2) D'après le cours, (que je n'ai pas) expliquer pourquoi on peut affirmer, que si z est une racine d'un polynôme de 2nd degré a coefficients réels, alors son conjugué z(barre) est aussi une racine du polynôme.
3)Généralisons: Soit P, défini par P(z)=a0+a1z+a2z²+ ... + anz^n (le 1er nombre est en indice), un polynôme a coefficient réel
a)Si z est un nombre complexe, exprimer P(z)(tout est sous la barre), en fonction des a(indice)i et de z(barre)
b)Si z est un nombre complexe, exprimer P(z)(là il n'y a que z sous la barre), en fonction des a(indice)i et de z(barre)
c)Montrer alors que si ¨admet le nombre z, comme racine, alors z(barre) est aussi une racine de P
4)On sait qu'un polynôme P de degré 5, possède les 2 racines suivantes: (1/2)+i(racine3/2) et i
On sait également que P(0)=6 et que a(indice)5=2
Trouver toutes les racines de P, ainsi que la forme développée de P
Il faudra rédiger, afin de montrer l'enchaînement de la réflexion
1 Réponse
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1. Réponse labordan
Bonjour !
d'abord ton DM semble assez compliqué et son énoncé et assez confus donc cela n'est pas très étonnant que tu aies des difficultés à le faire. Mais je vais t'expliquer pourquoi je le trouve confus quelques fois.
1°)
a/ Considérons un polynôme de degré impair et étudions sa limite. Première remarque, la notation P(x) semble signifier que x est la variable (et non z) qui fait généralement (quasi toujours) référence à un nombre réel. Et c'est probablement le cas ici parce que calculer une limite avec un nombre complexe n'est pas du tout de votre programme car c'est plus compliqué qu'il n'y parait. On va donc faire ça pour des nombres réels.
On sait que pour tout polynôme P, on a :
[tex] \lim_{x \to \infty} P(x) = a_{n} x ^{n} [/tex] lorsque n est le degré du polynôme. Autrement dit, la limite de P en +/- l'infini est égal à la limite en +/- l'infini du monôme de plus haut degré.
Si n est impaire, la limite va donc dépendre du signe de l'infini et du signe du coefficient.
La limite en +∞ est donc -∞ si a < 0 et +∞ si a >0.
La limite en -∞ est -∞ si a>0 et +∞ si a <0.
b/ Cette question est plutôt délicate et j'ai un peu de mal à te conseiller à ce sujet. Elle est délicate car il me semble quasiment impossible de vraiment prouver rigoureusement ce résultat sans utiliser de résultats préalables sur les polynômes... et il me semble que vous n'avez pas ces résultats. En tout cas, il n'existe pas, à ma connaissance, de résultat direct reliant les racines et les limites.
Par contre, il y a un raisonnement qui amène à ce résultat et c'est le suivant :
On sait qu'un polynôme peut se décomposer sous la forme de polynômes irréductibles. Dans le cas des polynômes à coefficient complexes, ces polynômes irréductibles sont de la forme la plus simple (x - r) où r est une racine qui peut être complexe (c'est pour ça qu'on se place dans C). Ton exercice suppose que nous sommes dans R (pour les coefficients) donc nous n'avons pas le droit à ça. En réalité, ces polynômes irréductibles (x-r) où r est complexe provient de la décomposition d'un polynôme à coeff réels de la forme x^2 + bx + c qui est à coefficient réels (c'est exactement lié au fait de trouver les racines de ce polynôme et de tomber sur deux complexes conjugués, tout ça est lié).
Donc il en résulte que tout polynôme à coefficient réel, s'écrit sous la forme de polynômes irréductibles. Donc un produit de polynômes du type (x-r) avec racine réel et de polynôme de type x^2 + bx + c.
Si on connait ce résultat (qui est limite au programme de Term S), la question du DM devient un peu bizarre car on a pas besoin du résultat précédent sur les limites pour on déduire qu'un polynôme impaire à forcément un facteur de la forme (x-r) dans sa décomposition car les facteurs du type x^2 + bx + c apportent deux degrés au polynôme à chaque fois. D'autre part, le résultat sur els limites n'apportent rien sur la structure d'un polynôme, enfin pas grand chose à part le fait qu'il est possible qu'on puisse tout factoriser par (x-r) avec r réel mais je ne considère pas ça comme un argument (mais il s'agit peut être de la véritable justification de ton DM).
Dans tous les cas, tu vois bien qu'un polynôme de degré impaire aura forcément au moins une racine réel, car si on a que des racines complexes, elles sont conjuguées et la décomposition du polynôme est un produit de formes du type (x^2 + bx + c) et dans ce cas il est impossible d'avoir une limite en -∞ comme nous l'avons montré pour les polynômes impaires précédemment.
2°)
Tu peux simplement utiliser la résolution complexe des équations du second degré. Lorsqu'on souhaite trouver les racines d'un polynôme de second degré et que Δ < 0, alors la formule donnant les racines est :
x = (- b +/- √(-Δ)i ) / 2a.
Tu vois que le +/- devant la partie imaginaire des racines donne le conjugué de l'autre. C'est une justification suffisante pour le résultat.
3°) Ici tu utilises simplement le fait que le conjugué d'une somme est la somme des conjugué. Or les coefficient de P sont réels donc le conjugué de a est égal à a. Donc tu obtiens que P(z)' = a_0 + a_1 z' +... + a_n z^n ' où ' est la conjugaison.
Tu vois que cela correspond directement à P(z') en fait.
Donc tu en déduis que si z est racine de P alors : P(z)=0 mais aussi P(z)'=0.
Or d'après ce qu'on a dit plus haut, P(z')=0 est aussi vrai. Donc z' est racine.