bonjour, (o,i,j) est un repère orthonormal du plan. Un droite d de coefficient directeur a supérieur ou égal à 0 passant par A(0;1) coupe en M(x;y) le demi cerc

Voyez le dessin.      (au dessous j'ecris  pi & sqrt{3} car  je ne peux pas utiliser les symboles. notez svp.

x^2 + y^2 = 1 - l'equation du cercle.

On dit que,    0 <= a <= 1, parce que,  a = 0 , pour le droite rouge dans le dessin, et,   a = 1 , pour le droite vert.

On trouve le M(x,y) par         a = (y-1) / (x-0)  

 Donc,  y  = ax + 1  -    c'est  l'equation du  "d"  ---- (1)

le point M(x,y) est sur le cercle et egalement sur le droite.

     x^2 + (ax+1)^2 = 1    --  on utilisant  (1)

  =>  (a^2+1) x^2 + 2ax + 1 = 1

  =>  x = 0  ou  x = -2a /(1+a^2)      du point M.

    et  y du point M  = 1 - 2 a^2/(a^2+1) = (1-a^2)/(1+a^2)

l'aire du trapeze OAMN = (1+y)*  | x | / 2

      = [ 1 + (1-a^2)/(1+a^2) ] (2a/(1+a^2) / 2

  L’aire  = 2 a /(1+a^2)^2             ---- (2)

si on met,  a = tan t

  l'aire du trapeze OAMN = 2 tan t /sec^4 t

     =  2 sin t * cos^3 t = sin 2t * (1+cos 2t)/2 = 1/2 sin 2t + 1/4 sin 4t

On calcule la derivee de l’aire (calculus) en t   et  calcule le valeur de "t" quand la derivee est zero.

  Donc,   cos 2 t + cos 4t = 0   

        2t = pi - 4t ,   =>   t = pi/6

   => a = tan t = 1/sqrt{3}

l'aire maximum = (2/sqrt{3}) / (4/3)^2

       = 2 * 9 /(16*sqrt{3}) = 3 sqrt{3}/8

==============================================

Si on calcule le derivee de l’expression de l’aire en (2), et trouve le valeur de “a” quand la derviee est egal a zero :  pour la valeur maximum.

     2/(1+a^2)^2  -  2* 2 a (2a ) / (1+a^2)^3 = 0   pour le valeur max

    (1+a^2) – 4 a^2 = 0

        1 = 3 a^2    =>    a = 1/ sqrt{3}

     Donc, l’aire maximum = 3 sqrt{3} / 8